设矩阵，，已知线性方程组AX(→)＝β(→)有无穷多解，则a＝（　　）；存在P＝（　　），使P^－1AP为对角矩阵。

正确答案： C

解析：
（1）对方程组AX(→)＝β(→)的增广矩阵进行初等行变换，有
当a＝1时，则r（A）＝1≠r（A(＿)）＝2，此时方程组无解；
当a＝－2时，则r（A）＝r（A(＿)）＝2＜3，此时方程组有无穷多解，所以a＝－2。
（2）矩阵A的特征多项式为
解得λ₁＝0，λ₂＝－3，λ₃＝3。
对于λ₁＝0，解方程组（0E－A）X(→)＝0(→)。
与（0E－A）X(→)＝0(→)同解的方程组为，解得ξ(→)₁＝（1，1，1）^T为矩阵A的属于特征值λ₁＝0的特征向量。
同理求得属于特征值λ₂＝－3的特征向量ξ(→)₂＝（1，－2，1）^T，λ₃＝3的特征向量ξ(→)₃＝（－1，0，1）^T。
因ξ(→)₁，ξ(→)₂，ξ(→)₃两两正交，只将ξ(→)₁，ξ(→)₂，ξ(→)₃单位化得，，
令，则。